积分第一中值定理的改进和推广

作者:积分第一中值定理的改进和推广 来源:未知 2022-06-16 18:35   阅读:

1、闽西职业技术学院学报JournalofMinxiVocationalandTechnicalCollege第11卷第2期2009年6月Vol.11No.2June200

1、闽西职业技术学院学报Journal of Minxi Vocational and Technical College第11卷第2期2009年6月Vol.11 No.2June 2009收稿日期2 0 0 8 - 1 1 - 1 8 基金项目福建省自然科学基金计划资助项目(2 0 0 7 J 0 1 8 8) 。 作者简介刘晃寰(1 9 5 7 -) ,男,福建泉州人,讲师,从事高等数学的教学与研究。积分第一中值定理的改进和推广刘晃寰1, 王平华2(1.泉州儿童发展职业学院, 福建 泉州;2.泉州师范学院 理工学院, 福建 泉州)摘要:研究了积分第一中值定理的中间值问题,证明了定理中的中间值可以属于开区间内部,并进而将积分第一中值定理的被积函数连续性的条件减弱为可积且有原函数。关键词:积分中值定理;可积;原函数中图分类号:O172.2文献标识码:A文章编号:(2009)-03中值定理在数学的其它学科领域的理论研究中有广泛的应用,在微积分理论中有着重要的地位,是证明微积分基本定理的基础。 但在一般高等数学教材的叙述和证明中, 微分中值定

2、理的中间值属于开区间,而积分中值定理的中间值属于闭区间。这一区别虽然很小,但却会使学生产生误解,进而在记忆和使用定理时产生混淆, 因此有不少作者研究了这一方面的问题1-3。 最近刘开生等4进一步研究了被积函数连续性条件的改进问题, 但是其证明有多处的疏漏。本文首先改进了第一积分中值定理的结论,证明了定理中的中间值属于开区间, 进而将被积函数的连续性条件减弱为可积且有原函数, 并利用达布定理等实函数的性质给出了证明。1一些引理引理15若f(x)在a,b上连续,且f(x)0,ba乙f(x)dx=0,则f(x)0,xa,b。引理25(Darboux定理)若函数f(x)在a,b上可导,且f+(a)f-(b),k为介于f+(a),f+(b)之间的任一实数,则至少存在一点(a,b),使得f()=k。引理36设f(x)在E上可积,f(x)0,且 E乙f(x)dx=0,则f(x)=0,a.e.于E。2主要结果定理1(积分第一中值定理)若f(x)和g(x)在a,b上连续,g(x)在a,b上不变号,则在(a,b)上至少存在一点,使得ba乙f(x)g(x)dx=f()ba乙g(x)dx。证明不妨设g(x)0

3、。 因为f(x)在a,b上连续,所以在a,b上必取到最大值和最小值。 令M=max axbf(x),m=max axbf(x),则mf(x)M,从而mg(x)f(x)g(x)Mg(x),由定积分的性质有mba乙g(x)dxba乙f(x)g(x)dxMba乙g(x)dx(1)由假设g(x)0且不变号,得ba乙g(x)dx0。若ba乙g(x)dx=0,由式(1),得ba乙f(x)g(x)dx=0,这时对坌(a,b),都有ba乙f(x)g(x)dx=0=f()ba乙g(x)dx,故命题成立。若ba乙g(x)dx0,由式(1)得mba乙f(x)g(x)dxba乙g(x)dxM(2)对于式(2)分两种情况讨论:101(i) 式(2)中等号不成立,即m0,从而g(x)不恒等于0。 因此至少存在一点x0a,b,使得g(x0)0。 由局部保号性知,存在x0的邻域U(x0,)奂a,b,使得g(x)0,xU(x0,)。 所以埚U(x0,),使得M-f()=0,即在开区间(a,b)内存在一点,使得结论成立。 定理1证毕。定理2设f(x)是a,b上有原函数的可积函数,g(x)在a,b上可积且不变号,则在开区

4、间(a,b)内至少存在一点,使得ba乙f(x)g(x)dx=f()ba乙g(x)dx证明不妨设在a,b上g(x)0。 由条件g(x)可积且不变号,有ba乙g(x)dx0。 令m=infxa,bf(x), M=sup xa,bf(x),显然,mf(x)M,从而mba乙g(x)dxba乙f(x)g(x)dxMba乙g(x)dx(3)当ba乙g(x)dx=0时,由式(3),得ba乙f(x)g(x)dx=0,从而对坌(a,b),结论都成立。当ba乙g(x)dx0时,令F(x)是f(x)在a,b上的一个原函数,即F(x)=f(x),x(a,b)。 由式(3),得mba乙f(x)g(x)dxba乙g(x)dxM(4)对于式(4)分两种情况讨论:(i)式(4)中等号不成立,即m0,同样由引理3可知,存在可测集E奂a,b,使得m(E)0,且g(x)0,xE。 所以M-f(x)=0,a.e.于E。 故至少存在一点(a,b),使得f()=M。 定理2证毕。3结语本文的结果改进了传统的教科书上的积分第一中值定理条件,即从“f(x)和g(x)在a,b上连续,g(x)在a,b上不变号”减弱为“f(x)是a,

5、b上有原函数的可积函数,g(x)在a,b上可积且不变号”。 使积分第一中值定理应用性更广。 对于中值定理的改进有利于推动数学的其它学科领域的研究工作, 比如应用了中值定理的文7,8等文献,在其算子的构造中,基函数可有更广泛的选择。参考文献: 1 姚力,李香玲.微分中值定理与积分第一中值定理的关系 J .河北建筑工程学院学报,2 0 0 3,2 1(1) :9 8 - 1 0 0 . 2 曹定华,刘长荣.积分中值定理的改进 J .数学理论与应用,2 0 0 4,2 4(4) :7 5 - 7 7 . 3 郝玉芹,时立文,欧阳占瑞.对积分中值定理结论的一点改动 J .河北能源职业技术学院学报,2 0 0 7,7(3) :8 3 - 8 4 .102On the reform of double-certificate curriculum at higher vocational collegesGUO Shun,WU Hai-yan(Resources Engineering Department,Minxi Vocational and Technical College,Longya

6、n,Fujian,,China)Abstract:With the development of Chinese society and economy,the demand pattern forthe talents has changed greatly, and new requirements are put forward on the educational teachingreform at higher vocational colleges.The implementation of double-certificate system and double-certificate curriculum at higher vocational colleges is a basic guarantee for the colleges to presenttheir school-running characteristics, develop new pattern of talents training and promote studentsemp

7、loyment competition.It also requires the colleges to establish appropriate curriculum system,teaching staff, training base, teaching material system, evaluation system and examination methods.Only in this way can they achieve the purpose of deepening higher vocational educational teachingreform.Key words:double-certificate curriculum; double-certificate system; higher vocational colleges 5 普林林,董兴.在高教学生中推行职业资格证书制度的实践探索 J .教育与职业,2 0 0 6,7(2 1) :2 9 - 3 1 . 6 赵建玲,沈双生.高校推行职业资格证书制度的探讨 J .河北大学成人教育学院学报

8、,2 0 0 7,9(4) :3 8 - 3 9 . 7 言宏元.高职教育“ 双证制” 与教学改革接轨的研究 J .浙江纺织服装职业技术学院学报,2 0 0 8(3) :9 3 - 9 5 . 8 柳翠钦.“ 双证书” 一体化人才培养模式的探索与思考 J .职业技术教育,2 0 0 0(3 4) :1 2 - 1 3 . 9 何蕴峥,赵倬.逼近双证书制度的高职课程改革 J .中国科技信息,2 0 0 5(5) :1 1 9 . 1 0 邓海涛.推行双证书制度促进高职教育教学改革 J .广西大学学报:哲学社会科学版,2 0 0 6,1 1(2 8) :2 4 8 . 1 1 许国强,赵文富,高文艳,等.高等职业教育工科专业人才培养模式的研究 J .天津职业大学学报,2 0 0 0(4) :6 - 9 . 1 2 吴亚萍.对“ 双证融通” 高职课程改革的思考 J .江苏技术师范学院学报,2 0 0 8,1 1(2 3) :8 0 - 8 1 .责任编辑:章颖(上接第54页)Improvement and extension of First Mean Value Theorem in In

9、tegration LIU Huang-huan1,WANG Ping-hua2(1. Quanzhou Childrens Development Vocational College,Fujian,,China; 2. School of Science,Quanzhou Normal University,Fujian,,China) Abstract:The problem of mean value of First Mean Value Theorem in Integration is studied.The mean value which can be in the open interval is proved,and the continuous conditions are improved. Key words:integral value theorem; integrality; original function 4 刘开生,王贵军.积分中值定理的推广 J .天水师范学院学报,2 0 0 6,2 6(2) :5 6 - 5 9 . 5 潘继斌.达布( D a r b o u x )定理及其应用 J .湖北师范学院学报:自然科学版,2 0 0 0,2 0(1) :7 8 - 8 0 . 6 程其襄,张奠宙,魏国强,等.实变函数与泛函分析基础 M .北京:高等教育出版社,1 9 8 4:1 1 3 - 1 1 6 . 7 Wa n g PH , C a i QB , L i ZW. E s t i m a t e o n R a t e o f C o n v e r g e n c eo f t h e I n t e g r a l T y p e L u p a s - B e z i e r O p

《积分第一中值定理的改进和推广》由会员nt****6分享,可在线阅读,更多相关《积分第一中值定理的改进和推广》请在金锄头文库上搜索。

分享给小伙伴们:
积分第一中值定理的改进和推广:如果本文侵犯了您的权利, 请联系本网立即做出处理,谢谢。
下一篇:没有了
积分第一中值定理的改进和推广相关文章